January 8th, 2021

Непрерывность аналогового сигнала

Этот пост является продолжением предыдущего поста «Почему аналоговый сигнал так называется (на примере звука)».

Аналоговый сигнал часто называют непрерывным, а цифровой сигнал — прерывным. В чем же заключается непрерывность аналогового сигнала?

В предыдущем посте я брал в качестве примера аналогового сигнала звук, а в качестве его графического представления — график зависимости плотности воздуха (как среды, передающей звук) от времени. С помощью микрофона звук преобразовывался в другой аналоговый сигнал — электрический, и графическим представлением последнего был график зависимости электрического напряжения от времени:


Вообще, аналоговый сигнал часто изображают на графике синусоидой, то есть волнообразной кривой с одной и той же высотой отдельных волн («амплитудой») и одним и тем же расстоянием между отдельными волнами («периодом» или «фазой»). На самом деле график аналогового сигнала может быть любого вида, а синусоиду авторы, как я понимаю, выбирают чисто для красоты.

Что произойдет, если источник звука перестанет вибрировать и инициировать звуковые волны? Очевидно, что звук прервется. Например, человек может в своей речи делать паузы. Однако, аналоговый сигнал всё же называют непрерывным. Отсюда можно сделать вывод, что перерывы в работе источника сигнала при определении непрерывности (или прерывности) сигнала в расчет не берутся. В данном случае в расчет берется только график сигнала между перерывами в его передаче.

Аналоговый сигнал представляет некий физический процесс, то есть процесс, происходящий в реальном (вещественном, материальном) мире. Для измерений в вещественном мире нужны вещественные числа, для представления которых можно использовать вещественную прямую (числовую прямую):

Рисунок из статьи про числовую прямую в википедии

На рисунке прописной латинской буквой «R» обозначено то, что имеются в виду вещественные (по-английски «real») числа. Стрелкой указано положительное (в сторону увеличения положительных чисел) направление числовой прямой. Короткими отрезками, перпендикулярными числовой прямой, на числовой прямой отмечены некоторые вещественные числа, но это не значит, что между отметками нет чисел. Как раз наоборот, числа там есть и это иллюстрируется примерами таких чисел — квадратный корень из двух, число e и число пи.

Сколько между ближайшими отметками на числовой прямой находится вещественных чисел? Например, между отметками 1 и 1,5? Ответ — бесконечное количество. А между вещественными числами 1 и 1,1? То же самое, бесконечное количество. А между 1 и 1,01? Ответ — тот же, бесконечное количество. Можно сколько угодно уменьшать этот промежуток и ответ останется тем же — бесконечное количество. В этом и заключается непрерывность вещественных чисел на числовой прямой: сколько бы мы ни углублялись в устройство числовой прямой, увеличивая число отметок на ней и уменьшая расстояние между соседними отметками, мы никогда не сможем достичь такого уровня, когда между соседними отметками нельзя будет отсчитать бесконечное количество вещественных чисел.

Прерывность чисел на числовой прямой характеризуется тем, что в какой-то момент между соседними отметками на числовой прямой нельзя будет отметить другие числа. Это может быть, к примеру, если взять множество целых чисел. Тогда, например, между отметками 1 и 2 («разрыв» или «перерыв») нельзя будет отметить еще какое-нибудь число, так как в данном случае мы имеем дело только с целыми числами.

Понятно, что для измерения физических процессов в реальном мире невозможно пользоваться только целыми числами, потому для этого и были придуманы вещественные числа. Для представления физических процессов используются графики, изображаемые вещественными линиями, полученными из вещественных прямых. При этом свойство непрерывности вещественных чисел сохраняется, передаваясь от вещественной прямой к вещественным линиям (кривым).

Таким образом, аналоговый сигнал называют непрерывным, исходя из непрерывности вещественных чисел на числовой прямой. При этом имеются в виду две непрерывности: по горизонтальной оси (оси времени) и по вертикальной оси (в нашем примере — оси плотности воздуха или оси электрического напряжения).

По вертикальной оси непрерывность аналогового сигнала выполняется в определенных рамках. К примеру, для синусоиды ее значения на вертикальной оси колеблются от самого низкого в провале между волнами синусоиды до самого высокого на верхушке волны синусоиды.