ilyachalov (ilyachalov) wrote,
ilyachalov
ilyachalov

Categories:

Сложение и умножение вероятностей

Начало: что такое вероятность.

Перед рассмотрением простейших формул из теории вероятностей стоит сделать ремарку про обозначения.

Словосочетание «вероятность события A» часто обозначают как P(A). (Как я уже упоминал раньше, вероятность часто обозначают строчной латинской буквой «p» или прописной латинской буквой «P», что может означать первую букву английского слова «probability» (по-русски «вероятность»)).

1. Сложение вероятностей. При расчете вероятностей ряда несовместных событий, когда исходом случайного эксперимента может являться только одно событие, всё более-менее понятно. Примером такого случая является уже рассмотренный ранее эксперимент с броском обычного шестигранного игрального кубика. Исходом броска может быть только одно событие из ряда шести несовместных событий: выпадение единицы, выпадение двойки, выпадение тройки и так далее.

Как подсчитать вероятность того, что исходом очередного броска нашего кубика, к примеру, окажется выпадение числа 1 (обозначим это событие латинской буквой «A») или выпадение числа 2 (обозначим это событие латинской буквой «B»)? Такую вероятность обычно обозначают как P(A+B). И в данном случае (для несовместных событий) работает формула сложения вероятностей:

P(A+B) = P(A) + P(B)

То есть вероятность выпадения числа 1 или числа 2 равна сумме вероятностей этих событий по отдельности, а именно 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

В обозначении P(A+B) знак «+» является синонимом слова «или».

2. Умножение вероятностей. Более сложный случай — когда исходом эксперимента являются сразу несколько событий. Например, в случае броска сразу двух обычных шестигранных игральных кубиков исходом эксперимента станут два события — выпадение числа на одном кубике и выпадение числа на другом кубике. У нас есть ряд из шести несовместных событий, которые могут произойти на одном кубике и ряд из шести несовместных событий, которые могут произойти на другом кубике. Но любое событие из одного ряда совместно с любым событием из второго ряда, потому что они могут произойти одновременно.

Как подсчитать вероятность того, что исходом очередного броска двух наших кубиков станет выпадение на одном из них числа 1 (обозначим это событие латинской буквой «A») и на втором — тоже выпадение числа 1 (обозначим это событие латинской буквой «B»)? Такую вероятность обычно обозначают как P(A*B) или просто как P(AB). События A и B в данном случае являются совместными (могут произойти одновременно) и независимыми друг от друга. В обозначении P(AB) знак умножения является синонимом слова «и».

Попробуем применить сложение вероятностей для нахождения вероятности одновременного выпадения единичек на двух кубиках: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. На первый взгляд кажется, что всё в порядке. Однако, давайте одновременно бросим сразу семь кубиков. Какова вероятность одновременного выпадения на них единичек? Если применить сложение вероятностей, то получится, что эта вероятность равна 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 7/6. Но такого не может быть, потому что вероятность, как мы помним из ее определения, не может быть больше единицы! Да и простой здравый смысл нам подсказывает, что при увеличении количества кубиков вероятность одновременного выпадения на них одного и того же числа должна уменьшаться, а не увеличиваться!

Для нашего случая (совместных независимых событий) правильно применить умножение вероятностей:

P(AB) = P(A) * P(B)

То есть вероятность выпадения на двух кубиках одновременно числа 1 равна 1/6 * 1/6 = 1/36.
Tags: Математика, Образование
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments